Halaman
TEOREMAPYTHAGORASPernahkah kalian memerhatikan paratukang kayu atau tukang bangunan? Dalambekerja, mereka banyak memanfaatkanteorema Pythagoras. Coba perhatikankerangka sebuah rumah yang dibuat dari kayu.Pada kerangka rumah tersebut sebagianbesar rusuk tegak lurus terhadap rusuk yanglain. Sudut-sudut yang terbentuk pada rusukyang saling tegak lurus tersebut merupakansudut siku-siku. Dengan memanfaatkanteorema Pythagoras, dapatkah kalianmenentukan panjang dari rusuk-rusuk yangsaling tegak lurus tersebut?Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menemukan teorema Pythagoras;dapat menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jika dua sisi lain diketahui;dapat menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku istimewa;dapat menghitung panjang diagonal pada bangun datar.5Kata-Kata Kunci:teorema Pythagorastripel Pythagorassegitiga siku-siku istimewaSumber:Indonesian Heritage, 2002
118Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai materi mengenai segitiga, segi empat, sudut, dan bilangankuadrat, serta akar kuadrat. Namun, sebelumnya mari kita ingatkembali mengenai luas persegi dan luas segitiga siku-siku.A. TEOREMA PYTHAGORAS1. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-SikuPerhatikan Gambar 5.1.Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi ABCD yangpanjang sisinya s satuan panjang.Luas persegi ABCD = sisi u sisiL = susL = s2 satuan luasSelanjutnya, perhatikan Gambar 5.2.Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi panjang PQRSyang panjangnya p dan lebarnya lsatuan. Diagonal QS membagipersegi panjang PQRS menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu'PQS dan 'QRS. Luas persegi panjang PQRS sama denganjumlah luas 'PQS dan 'QRS. Adapun luas 'PQS sama denganluas'QRS, sehingga diperolehluas'PQSluas QRS1luas persegi panjang PQRS2 ' uKarena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebarl, luas 'PQS = 12uupl atau luas segitiga siku-siku = 1alas tinggi2uuLuas persegi dan luas segitiga siku-siku sangat bermanfaatdalam menemukan teorema Pythagoras.2. Menemukan Teorema PythagorasUntuk menemukan teorema Pythagoras lakukan kegiatanberikut. Ambillah dua potong kertas berbentuk persegi berukuran(b + c) cm seperti tampak pada Gambar 5.3 (i) dan 5.3 (ii). Kitaakan menemukan hubungan antara besarnya a,b, dan c.ABCDssGambar 5.1QPSRplGambar 5.2
119Teorema PythagorasGambar 5.3 (i) menunjukkan persegi ABCD berukuran(b + c) cm. Pada keempat sudutnya buatlah empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya b cm dan c cm.Dari Gambar 5.3 (i) tampak bahwa luas persegi ABCD samadengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luasempat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehinggadiperolehluas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku1422 u uubcbcdan luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi PQRS=au a = a2.Lalu buatlah persegi EFGH berukuran (b + c) cm sepertitampak pada gambar 5.3 (ii). Pada dua buah sudutnya buatlahempat segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk duapersegi panjang berukuran (buc) cm.Dari Gambar 5.3 (ii) tampak bahwa luas persegi EFGH samadengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luasempat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehinggadiperolehluas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang= 2 ubu c= 2 bcluas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN+ luas persegiOFML=(bu b) + (c uc)= b2 + c2.Dari Gambar 5.3 (i) dan 5.3 (ii) tampak bahwa ukuran persegiABCD = ukuran persegi EFGH, sehingga diperolehluas persegi ABCD= luas persegi EFGH 2bc + a2= 2bc + b2 + c2a2= b2 + c2.Kesimpulan di atas jika digambarkan akan tampak seperti padaGambar 5.3 (iii).Luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miringsuatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas daerahpersegi yang panjang sisinya adalah sisi siku-siku segitigatersebut.DABCaaaa2accccbbbbPRQS(i)EFGHbb2bbccccc2KLMNO(ii)aa2bb2cc2(iii)Gambar 5.3
120Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kesimpulan tersebut selanjutnya dikenal dengan teoremaPythagoras. Teorema Pythagoras tersebut selanjutnya dapatdirumuskan seperti berikut.Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisimiring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a panjang sisi mi-ring, sedangkan b dan c panjang sisi siku-sikunya maka berlakua2 = b2 + c2.Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadib2 = a2 – c2 atauc2 = a2 – b2.Nyatakan hubungan yangberlaku mengenai sisi-sisisegitiga pada gambar dibawah ini.a.pqrb.lkmGambar 5.5Penyelesaian:Karena kedua segitiga di samping adalah segitiga siku-siku, maka berlaku teorema Pythagoras, yaitu kuadratpanjang sisi miring = jumlah kuadrat sisi siku-sikunya,sehingga berlakua. q2 = p2 + r2 ataup2 = q2 – r2r2 = q2 – p2b. k2 = l2 + m2ataul2 = k2 – m2m2 = k2 – l2ABCabcGambar 5.4(Berpikir kritis)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 2 orang, 1 pria dan 1 wanita.Buatlah empat buah segitiga siku-siku dengan ukuran yang berbedapada kertas karton. Guntinglah segitiga-segitiga tersebut.Ukurlah panjang sisi setiap segitiga tersebut. Lalu ujilah, apakahpanjang sisi setiap segitiga tersebut memenuhi teoremaPythagoras? Ceritakan pengalamanmu secara singkat di depankelas.
121Teorema PythagorasKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1.ABC(i)abcABC(iii)abcABC(ii)abcABC(iv)abcBerdasarkan gambar di atas salin danlengkapilah tabel berikut. Hubunganapakah yang tampak pada kolom luas Cdan luas A + B?2. Gunakan teorema Pythagoras untuk me-nyatakan persamaan-persamaan yangberlaku pada segitiga berikut.abcefd(i) (ii)higkjl (iii) (iv)3. Ukurlah panjang sisi setiap segitiga siku-siku pada soal no. 2 di atas. Cek, apakahkuadrat panjang sisi miring = kuadratpanjang kedua sisi siku-sikunya. Ujilahjawabanmu dengan jawaban soal no. 2.GambarLuas Daerah PersegiA B C A + Biiiiiiiv3. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk MenghitungPanjang Salah Satu Sisi Segitiga Siku-Siku jika KeduaSisi Lain DiketahuiDengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatmenghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjangkedua sisi lain diketahui.
122Matematika Konsep dan Aplikasinya 23. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Pdengan PQ = 12 cm dan QR = 13 cm.a. Buatlah sketsa segitiga tersebut.b. Tentukan panjang PR.4. Panjang hipotenusa suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm, sedangkan panjangsisi siku-sikunya 12 cm dan x cm.Berapakah nilai x?5.ABCD25 cm9 cm12 cmPada gambar di atas, diketahui panjangAB = 12 cm, BC = 9 cm, dan CD = 25cm. Tentukan panjang AD.1. Gunakan teorema Pythagoras untukmenghitung nilai x pada gambar berikut.2. Hitunglah nilai y pada setiap segitigaberikut.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Diketahui segitiga ABCsiku-siku di B dengan AB= 6 cm dan BC = 8 cm.Hitunglah panjang AC.Penyelesaian:Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlakuAC2= AB2+ BC2=62 + 82= 36 + 64= 100AC =100 10Jadi, panjang AC = 10 cm.x242586x(c)(d)x129x1026(a)(b)4024y3,512,5y(c) (d)yy83y4y20(a) (b)ABC6 cm8 cmGambar 5.6
123Teorema PythagorasB. PENGGUNAAN TEOREMA PYTHAGORAS1. Kebalikan Teorema Pythagoras untuk MenentukanJenis Suatu SegitigaPada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajarimengenai teorema Pythagoras dan membuktikan kebenarannya.Sekarang, kita akan membuktikan bahwa kebalikan teoremaPythagoras juga berlaku. Perhatikan uraian berikut.Perhatikan Gambar 5.7 (i). Misalkan 'ABC dengan panjangsisi-sisinya AB = c cm, BC = a cm, dan AC = b cm sehinggaberlakub2 = a2 + c2 ........................................................... (i).Akan dibuktikan bahwa 'ABC siku-siku di B.ABCabcQRPacq(i)(ii)Gambar 5.7Pada Gambar 5.7 (ii), 'PQR siku-siku di Q dengan panjangPQ = c cm, QR = a cm, dan PR = q cm. Karena ' PQR siku-siku, maka berlaku q2 = a2 + c2 .......................................... (ii).Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) kita perolehb2 = a2 + c2 = q2 atau b2 = q2Karenab bernilai positif, maka b = q.Jadi,'ABC dan 'PQR memiliki sisi-sisi yang samapanjang. Dengan mengimpitkan sisi-sisi yang bersesuaian dari keduasegitiga, diperoleh sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.Dengan demikian, ABC = PQR = 90o. Jadi, 'ABC adalahsegitiga siku-siku di B.Kebalikan teorema Pythagoras menyatakan bahwauntuk setiap segitiga jika jumlah kuadrat panjang dua sisi yangsaling tegak lurus sama dengan kuadrat panjang sisi miringmaka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.Agar kalian mengetahui jenis segitiga yang lain, lakukan kegiatanberikut.Sumber:Ensiklopedi Ma-tematika dan PeradabanManusia,2003Gambar 5.8Pythagoras (± 582 –500 SM) adalahseorang tokoh yangsangat berjasa dibidang matematika.Dengan penemuan-nya, terutama yangmenyangkut segitigasiku-siku, telahmembawa manfaatyang besar di bidangapapun. Untuk meng-abadikan namanyapenemuannya terse-but dikenal denganteorema Pythagoras.
124Matematika Konsep dan Aplikasinya 2KEGIATANSetelah melakukan kegiatan di atas, apakah kalian menyimpulkanseperti berikut?Pada suatu segitiga berlakua. jika kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yang lainmaka segitiga tersebut siku-siku.b. jika kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yang lainmaka segitiga tersebut lancip.c. jika kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yang lainmaka segitiga tersebut tumpul.a. Pada kertas berpetak, gambarlah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 15 satuan, 20 satuan, dan 25 satuan. Apakah segitigayang terbentuk adalah segitiga siku-siku? Bandingkan kuadratsisi miring dengan jumlah kuadrat sisi yang lain. Apa yang dapatkalian simpulkan?b. Pada kertas berpetak, gambarlah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 12 satuan, 14 satuan, dan 16 satuan. Apakah yang kalianperoleh adalah segitiga lancip? Bandingkan kuadrat sisi miringdengan jumlah kuadrat sisi yang lain. Apa yang dapat kaliansimpulkan?c. Pada kertas berpetak, gambarlah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 15 satuan, 20 satuan, dan 28 satuan. Apakah segitigayang terbentuk adalah segitiga tumpul? Bandingkan kuadratsisi miring dengan jumlah kuadrat sisi yang lain. Apa yang dapatkalian simpulkan?Tentukan jenis segitigadengan panjang sisi-sisisebagai berikut.a. 3 cm, 5 cm, 4 cmb. 4 cm, 5 cm, 6 cmc. 1 cm, 2 cm, 3 cmPenyelesaian:Misalkana = panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjangsisi yang lain, maka diperoleha.a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cma2= 52 =25b2 + c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25Karena 52 = 32 + 42, maka segitiga ini termasuk jenissegitiga siku-siku.b.a = 6 cm, b = 4 cm, c = 5 cma2 = 62 = 36b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41
125Teorema PythagorasKarena 62 < 42 + 52, maka segitiga ini termasuk jenissegitiga lancip.c.a = 3 cm, b = 1 cm, c = 2 cma2 = 32 = 9b2 + c2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5Karena 32 > 12 + 22, maka segitiga ini termasuk jenissegitiga tumpul.2. Tripel PythagorasPerhatikan kelompok tiga bilangan berikut.a. 3, 5, 6d. 4, 5, 6b. 6, 8, 10e. 5, 12, 13c. 6, 8, 12Misalkan bilangan-bilangan di atas merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga, dapatkah kalian menentukan manakah yangtermasuk jenis segitiga siku-siku?a. 3, 5, 662 = 3632 + 52 = 9 + 25 = 34Karena 62 > 32 + 52, maka segitiga ini bukan termasuksegitiga siku-siku.b. 6, 8, 10102 = 10062 + 82 = 36 + 64 = 100Karena 102 = 62 + 82, maka segitiga ini termasuk segitigasiku-siku.c. 6, 8, 12122 = 14462 + 82 = 36 + 64 = 100Karena 122 > 62 + 82, maka segitiga ini bukan termasuksegitiga siku-siku.d. 4, 5, 662 = 3642 + 52 = 16 + 25 = 41Karena 62 < 42 + 52, maka segitiga ini bukan termasuksegitiga siku-siku.e. 5, 12, 13132 = 16952 + 122 = 25 + 144 = 169(Menumbuhkankreativitas)Amati lingkungan disekitarmu.Temukan penggunaanteorema Pythagorasdalam kehidupansehari-hari. Ceritakantemuanmu secarasingkat di depankelas.(Berpikir kritis)Amatilah benda-bendadi lingkungansekitarmu.Sediakan 5 buah ben-da yang permukaan-nya mempunyai sudutsiku-siku. Ukurlahpanjang kedua sisisiku-siku dan sisimiring benda-bendatersebut, sehinggadiperoleh kelompoktiga bilangan.Tunjukkan apakahketiga bilangan terse-but merupakan tripelPythagoras. Ceritakanhasilnya secara sing-kat di depan kelas.
126Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Karena 132 = 52 + 122, maka segitiga ini termasuk jenissegitiga siku-siku.Dari uraian di atas tampak bahwa kelompok tiga bilangan6, 8, 10 dan 5, 12, 13 merupakan sisi-sisi segitiga siku-siku, karenamemenuhi teorema Pythagoras.Selanjutnya, kelompok tiga bilangan tersebut disebut tripelPythagoras.Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positifyang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlahkuadrat dua bilangan lainnya.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Jika tiga bilangan bu-lata,b, c merupakantripel Pythagorasmakana,nb, dan ncjuga membentuk tripelPythagoras, dengan nbilangan real.Dapatkah kalianmembuktikan pernya-taan tersebut?1. Selidiki jenis segitiga dengan panjang sisi-sisi berikut.a. 5, 8, 10e. 8, 15, 17b. 7, 8, 9f. 7, 24, 25c. 9, 12, 15g. 12, 16, 20d. 13, 5, 12h. 28, 45, 532. Di antara kelompok tiga bilangan berikutini, manakah yang membentuk tripelPythagoras?a. 3, 4, 5e. 8, 15, 17b. 4, 5, 6f. 12, 15, 19c. 4, 7, 8g. 11, 60, 62d. 12, 16, 20h. 33, 56, 653. Salin dan lengkapilah tabel berikut, se-hingga menunjukkan kelompok bilangantripel Pythagoras, dengan a > b.Apa yang dapat kalian simpulkan daritabel di atas?4. Pada segitiga ABC diketahui AB =10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm.a. Tunjukkan bahwa ' ABC siku-siku.b. Di titik manakah ABC siku-siku?a213453, 4, 53132ba2 – b22ab a2 + b2TripelPytha-gorasa ba2 – b22ab a2 + b2TripelPytha-goras41424351525354
127Teorema Pythagoras3. Perbandingan Sisi-Sisi pada Segitiga Siku-Siku denganSudut Khususa. Sudut 300 dan 600Perhatikan Gambar 5.9.Segitiga ABC di samping adalah segitiga sama sisi denganAB = BC = AC = 2x cm dan A = B = C = 600.Karena CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garistinggi sekaligus garis bagi C, sehingga ACD = BCD = 30o.Diketahui ADC = BDC = 90o.Titik D adalah titik tengah AB, di mana AB = 2x cm,sehingga panjang BD = x cm.Perhatikan'CBD.Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperolehCD2= BC2 – BD2CD= 22BCBD=22(2 )xx=224xx=23x = 3xDengan demikian, diperoleh perbandinganBD : CD : BC = :3:2xx x=1: 3 : 2.Perbandingan tersebut dapat digunakan untukmenyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-sikukhusus. Perhatikan contoh berikut.5.QPRS4 cm2 cm8 cmPerhatikan gambar di atas.Pada' PQR diketahui PS = 2 cm,QS = 8 cm, dan RS = 4 cm.a. Hitunglah panjang PR dan QR.b. Buktikan bahwa 'PQR siku-siku dititik R.ABCD30o60o30o2 cmxGambar 5.9
128Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Diketahui persegi panjangABCD dengan panjang di-agonal AC = 10 cm dan CAB = 30o. Tentukan(i) panjang AB;(ii) panjang BC;(iii) luas ABCD;(iv) keliling ABCD.Penyelesaian:Perbandingan sisi-sisi pada ' ABC adalahBC : AB : AC = 1 : 3 : 2, sehingga(i) BC : AB : AC = 1 : 3 : 2AB : AC= 3 : 2AB : 10= 3 : 22AB= 103AB= 10 32=53cm(ii) BC : AC= 1 : 2BC : 10= 1 : 22BC= 10BC= 102 = 5 cm(iii) Luas ABCD 2AB BC53 525 3 cm u u(iv) Keliling ABCD 2 AB BC25 3 5103 1 cmuGambar 5.10ABCD10cm30ob. Sudut 45oPerhatikan Gambar 5.11.Segitiga ABC pada Gambar 5.11 adalah segitiga siku-sikusama kaki. Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC =x cm dan A = C = 45o.ABCx cm45o45oGambar 5.11
129Teorema PythagorasKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan nilai xdany pada segitiga siku-siku berikut.yx460oy8x + 230o (a)(b)xy560o (c)(d)2. Tentukan besar sudut x dan y (dalamderajat) pada segitiga siku-siku berikut.(a)(b)(c)(d)3. Diketahui ' PQR siku-siku di Qdengan panjang PQ = QR = 25 cm.Hitunglah keliling dan luas segitigaPQR.4. Pada persegi panjang ABCD,diketahui AB = 30 cm dan CAB =30o. Hitunglaha. panjang AC dan BC;b. keliling dan luas persegi panjangABCD.5. Diketahui belah ketupat PQRS denganO titik potong diagonal PR dan QS.Jika OPS = 300 dan PO = 10 3cmmakaa. sketsalah belah ketupat PQRS;b. hitunglah panjang QO dan PQ;c. hitung luas dan keliling belah ketu-pat PQRS.yxyx45o5252yx33xxyy55352Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperolehAC2= AB2 + BC2AC= 22ABBC=22xx=22x = 2xDengan demikian, diperoleh perbandinganAB : BC : AC :: 21:1: 2.xxx
130Matematika Konsep dan Aplikasinya 24. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datardan Bangun RuangSelain dimanfaatkan pada segitiga siku-siku, teoremaPythagoras juga dapat digunakan pada bangun datar dan bangunruang matematika yang lain untuk mencari panjang sisi-sisi yangbelum diketahui.Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cmpada Gambar 5.12. Dapatkah kalian menyebutkan diagonal sisikubus ABCD.EFGH? Diagonal sisi adalah ruas garis yangmenghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada suatu bidangdatar. Diagonal sisi kubus tersebut antara lain AF,BD,CH, danDE. Misalkan kita akan menentukan panjang diagonal sisi BD.Perhatikan persegi ABCD. BD adalah salah satu diagonalsisi bidang ABCD. Sekarang, perhatikan 'ABD. Karena 'ABDsiku-siku di A, maka dengan menggunakan teorema Pythagorasdiperoleh2BD=2AD + 2AB=a2 + a2= 2a2BD222 cmaaCoba tentukan panjang diagonal sisi yang lain.Apakah panjangnya selalu sama?Selanjutnya, dapatkah kalian menyebutkan diagonal ruangkubus ABCD.EFGH? Diagonal ruang adalah ruas garis yangmenghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatubangun ruang.Diagonal ruang kubus ABCD.EFGH antara lain HB danFD. Perhatikan 'BDH siku-siku di titik D, maka untuk menentu-kan panjang diagonal ruang HB dapat dicari dengan menggunakanteorema Pythagoras.222222222HBBDDH223HB33 cmaaaaaaa ABCDEFGHa cma cma cmGambar 5.12(Berpikir kritis)Pada bangun ruangbalok dengan panjangp cm, lebar l cm, dantinggit cm, tentukanpanjang diagonal sisidan panjang diagonalruangnya.
131Teorema PythagorasDiketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB= 15 cm. Hitunglah panjangdiagonal ruang AG.Penyelesaian:Gambar 5.13ABCDEFGH15 cm15 cm15 cmPerhatikan'ACG.Karena'ACG siku-siku dititik C, maka panjang diago-nal ruang AG dapat dicaridengan rumus berikut.222AGACCG .Panjang diagonal sisi AC adalah2AC=22ABBC= 152 + 152= 225 + 225= 450AC=450 15 2 cm.Jadi, panjang diagonal ruang AG adalah222AGACCG .=215 2 + 152= 450 + 225= 675 = 15 3 cm.Pada kubus ABCD.EFGH di samping,diketahui panjang AB = 4 cm. Hitunglaha. panjang AC dan AG;b. panjang CP;c. luas bidang diagonal ACGE.ABCDEFGHP(Berpikir kritis)Perhatikan bangunruang-bangun ruanglain selain kubus danbalok.Temukan pemanfaat-an teorema Pytha-goras pada masing-masing banguntersebut. Hasilnya,tulislah dalam bentuklaporan dan kumpul-kan kepada gurumu.
132Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1.ABCD20 cm12 cm60oPada trapesium ABCD di atas, hitunglaha. panjang AB dan CD;b. luas trapesium.2.ABCDEFGPHPada kubus ABCD.EFGH di atas diketa-hui panjang diagonal sisi BE = 48 cm.Tentukana. panjang AB; c. panjang AP.b. panjang HB;3.ABCDEFGH8 cm6 cm4 cmPada gambar di atas balok ABCD.EFGHdengan sisi alas ABCD dan sisi atasEFGH. Panjang rusuk AB = 8 cm,BC = 6 cm, dan CG = 4 cm. Hitunglaha. luas dan keliling bidang ACGE;b. panjang diagonal ruang AG.4.PQRSTO12 cm8 cmUPada limas T.PQRS di atas, alas limasberbentuk persegi dengan panjang sisi8 cm, sedangkan panjang TO = 12 cm.Hitunglaha. panjang TU;b. keliling dan luas segitiga TQR.5. Diketahui persegi ABCD pada bidangkoordinat dengan koordinat titik A (2, 1)dan C (7, –4).a. Sketsalah persegi ABCD tersebutpada bidang koordinat.b. Tentukan koordinat titik B dan D.c. Tentukan panjang BC dan AC.C. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI-HARI DENGAN MENGGUNAKAN T EOREMAPYTHAGORASBanyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yangdisajikan dalam soal cerita dan dapat diselesaikan dengan menggu-nakan teorema Pythagoras. Untuk memudahkan menyelesaikannyadiperlukan bantuan gambar (sketsa). Pelajari contoh berikut.
133Teorema PythagorasSeorang anak menaikkanlayang-layang denganbenang yang panjangnya100 meter. Jarak anak ditanah dengan titik yangtepat berada di bawahlayang-layang adalah 60meter. Hitunglah ketinggi-an layang-layang.Penyelesaian:Tinggi layang-layang = BC BC= 22ACAB=2210060=10.000 3600=6400= 80 mJadi, tinggi layang-layang adalah 80 m.ABC100m60 mGambar 5.14Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Sebuah kapal berlayar ke arah timur se-jauh 150 km, kemudian ke arah selatansejauh 200 km. Hitung jarak kapal seka-rang dari tempat semula.2. Sebuah tangga yang panjangnya 12 mbersandar pada tembok yang tingginya8 m. Jika kaki tangga terletak 6 m daritembok maka hitunglah panjang bagiantangga yang tersisa di atas tembok.3. Seseorang menyeberangi sungai yanglebarnya 30 meter. Jika ia terbawa arussejauh 16 meter, berapakah jarak yangia tempuh pada saat menyeberangisungai?4. Dua buah tiang berdampingan berjarak24 m. Jika tinggi tiang masing-masingadalah 22 m dan 12 m, hitunglah panjangkawat penghubung antara ujung tiangtersebut.5. Sebidang sawah berbentuk persegi pan-jang berukuran (40 u 9) m. Sepanjangkeliling dan kedua diagonalnya akan di-buat pagar dengan biaya Rp25.000,00per meter. Hitunglaha. panjang pagar;b. biaya pembuatan pagar.
134Matematika Konsep dan Aplikasinya 21. Luas persegi yang panjang sisinya s satuan panjang adalah s2satuan luas.2. Luas segitiga siku-siku dengan panjang alas a dan tinggi t adalahL = 12uuat.3. Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisimiring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.4. Jika jumlah kuadrat panjang dua sisinya sama dengan kuadratpanjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitigasiku-siku.5. Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positifyang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlahkuadrat dua bilangan lainnya.Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah pahammengenaiteorema Pythagoras? Jika kalian sudah paham, cobarangkum kembali materi ini dengan kata-katamu sendiri. Jika adamateri yang belum kamu pahami, catat dan tanyakan kepadatemanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu. Tuliskan pulamanfaat apa saja yang dapat kamu peroleh dari bab ini.Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.Pada segitiga ABC di samping berlaku....a. AB2 = AC2 + BC2b. AB2 = AC2 – BC2c. AC2 = AB2 – BC2d. AC2= BC2– AB21.ABC
135Teorema Pythagoras2.p257Nilaip pada segitiga di atas adalah....a . 12c . 22b. 15d. 243. Diketahui sebuah segitiga siku-siku,panjang hipotenusanya 3 10cm danpanjang salah satu sisinya 3 cm. Pan-jang sisi siku-siku yang lain adalah ....a. 7 cmc. 10 cmb. 9 cmd. 15 cm4. Suatu segitiga dengan panjang sisi 4cm, 5 cm, dan41cm, termasuk jenissegitiga ....a. lancipc. siku-sikub. sebarangd. tumpul5. Pada sebuah segitiga ABC diketahuisisi-sisinya adalah a,b, dan c. Daripernyataan berikut yang benar adalah....a. Jika b2 = a2 + c2 maka A = 90o.b. Jika c2 = b2 – a2 maka C = 90o.c. Jika c2 = a2 – b2 maka B = 90o.d. Jika a2 = b2 + c2 maka A = 90o.6. Diketahui himpunan panjang sisi-sisisegitiga sebagai berikut.(i) {3, 4, 6}(ii)^`3, 3,9(iii) {6, 8, 9}(iv)^`5, 7, 40Dari himpunan-himpunan di atas, yangdapat membentuk segitiga siku-sikuadalah ....a . (i)c . (iii)b. (ii)d. (iv)7.ABC30oPada' ABC di atas, jika besarA = 30odan panjang AB = 53cmmaka panjang BC dan AC berturut-turut adalah ....a. 5 cm dan 10 cmb. 3 cm dan 6 cmc. 6 cm dan 12 cmd. 10 cm dan 20 cm8. Jika x, 61, 11 merupakan tripel Pytha-goras dan 61 bilangan terbesar makanilaix adalah ....a . 15c . 45b. 30d. 609. Bilangan berikut yang bukanmerupa-kan tripel Pythagoras adalah ....a. 3, 4, 5c. 4, 6, 9b. 12, 16, 20d. 10, 24, 2610. Panjang diagonal ruang kubus denganpanjang rusuk 12 cm adalah ....a. 13 cmc.12 3cmb. 13,5 cmd.12 5cm11. Diketahui segitiga-segitiga denganukuran-ukuran sebagai berikut.(i) 3 cm, 4 cm, 5 cm(ii) 3 cm, 5 cm, 6 cm(iii) 5 cm, 6 cm, 7 cm(iv) 5 cm, 8 cm, 10 cmBerdasarkan ukuran-ukuran tersebutyang dapat membentuk segitigatumpul adalah ....a. (i) dan (ii)c. (ii) dan (iii)b. (i) dan (iii)d. (ii) dan (iv)12. Panjang sisi siku-siku suatu segitigaadalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjangsisi hipotenusanya 35 cm, kelilingsegitiga tersebut adalah ....
136Matematika Konsep dan Aplikasinya 2a. 4,9 cmc. 8,5 cmb. 6,9 cmd. 16,9 cm15. Sebuah tangga yang panjangnya 6 cmbersandar pada sebuah tiang listrik.Jarak ujung bawah tangga terhadaptiang listrik adalah 3 m. Tinggi tianglistrik yang dapat dicapai tanggaadalah ....a. 3,5 cmc.27 cmb.18 cmd.45 cma. 68 cmc. 84 cmb. 72 cmd. 96 cm13. Sebuah persegi panjang berukuranpanjang 24 cm dan panjang diagonal-nya 30 cm. Luas persegi panjangtersebut adalah ....a. 216 cm2c. 432 cm2b. 360 cm2d. 720 cm214. Segitiga ABC siku-siku sama kakidengan panjang AB = AC dan BC =24 cm. Panjang AB adalah ....B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Pada gambar segitiga berikut hitunglahnilaix.x36x84 (a) (b)xx16102048 (c)(d)2. Nyatakan segitiga-segitiga berikut,lancip, siku-siku, atau tumpul. Jikamerupakan segitiga siku-siku, lancip,atau tumpul, tentukan nama titik sudutyang siku-siku, lancip, atau tumpul.a.' ABC, AB = 16 cm, BC = 30cm, dan AC = 34 cm.b.' PQR, PQ = 12 cm, QR = 10cm, dan PR = 8 cm.c.' KLM, KL = 15 cm, LM = 12cm, dan KM = 8 cm.d.' DEF dengan koordinat titikA(1, 1), B(5, 3), dan C(4, 8).(Petunjuk: Terlebih dahulu hitunglahpanjang AB, AC, dan BC).3.ABCDKeliling belah ketupat ABCD di atasadalah 60 cm dan panjang BD = 18cm. Hitunglah panjang AC.4.RPTQPada limas T.PQR di atas, diketahuipanjang QR = 20 cm, PQ = 16 cm,dan TR = 28 cm.a. Hitunglah panjang PR dan PT.b. Tunjukkan bahwa ' TPQ siku-sikudi Q. Kemudian, hitunglah panjangQT.5. Sebuah kapal berlayar dari PelabuhanA ke arah selatan menuju PelabuhanB sejauh 250 km. Kemudian, dilanjut-kan ke arah timur menuju PelabuhanC sejauh 300 km.a. Buatlah sketsa dari keterangan diatas.b. Berapakah jarak dari Pelabuhan Ake Pelabuhan D?